Logika Matematika

Logika Matematika adalah salah satu bab dalam matematika yang berisi tentang pembahasan logika matematis dengan nilai salah dan benar dalam suatu kejadian tertentu. Dalam kehidupan nyata logika matematika digunakan dalam ilmu komputer dan logika filosofis, dalam ilmu komputer logika digunakan dalam pembuatan aplikasi atau software.

Dalam matematika, logika akan membahas tentang kebenaran dari suatu permasalahan.
Contoh:
Tangan manusia berjumlah dua → Benar
Manusia memiliki 6 jari → Salah
5 > 4 → Benar

Negasi adalah lawan dari suatu pernyataan, dilambangkan dengan ~(pernyataan).
Contoh:
P : Andi makan
~P : Andi tidak makan

Pernyataan Majemuk dan Negasinya

Dalam logika matematika biasanya memiliki 2 pernyataan, yang diwakili oleh p dan q, gabungan dari p dan q adalah pernyataan majemuk. Pernyataan majemuk dibedakan menjadi tiga, yaitu

Disjungsi/atau (V)

Pernyataan: p V q = "p atau q"

Negasi: ~(p V q) = ~p Ʌ ~q

Konjugasi/dan (Ʌ)

Pernyataan: p Ʌ q = "p dan q"
Negasi: ~(p Ʌ q) = ~p V ~q

Implikasi/Jika, maka (→)

Pernyataan: p → q = "jika p, maka q"
Negasi: ~(p → q) = p Ʌ ~q
Konvers : p → q = q → p
Invers : p → q = ~p → ~q
Kontra posisi : p → q = ~q → ~p

Biimplikasi/jika dan hanya jika (↔)

Pernyataan: p ↔ q = "p jika dan hanya jika q"
Negasi: ~(p ↔ q) = p ↔ ~q = ~p ↔ q

Berikut adalah table ringkasan dari pernyataan majemuk.

p	q	p V q	p Ʌ q	p → q	p ↔ q
B	B	B	B	B	B
B	S	B	S	S	S
S	B	B	S	B	S
S	S	S	S	B	B

Pernyataan Berkuantor

Kuantor Universal/Semua atau setiap (∀)

Kuantor universal bernilai semua atau keseluruhan dari objek dalam suatu pernyataan.
Negasi: ~((∀x), p(x)) = (ᴲx),~p(x)

Kuantor Eksistensial/Beberapa, ada, atau terdapat (∀)

Kuantor eksistensial bernilai Beberapa, ada, atau terdapat dari objek dalam suatu pernyataan.
Negasi: ~((ᴲx), p(x)) = (∀x),~p(x)

Kesimpulan

Silogisme

Premis 1 : p → q
Premis 2 : q → r
maka, premis 1 + premis 2 = p → r

Modus Ponens

Premis 1 : p → q
Premis 2 : p
maka, premis 1 + premis 2 = q

Modus Tollens

Premis 1 : p → q
Premis 2 : ~q
maka, premis 1 + premis 2 = ~p