Sistem Persamaan Linier(SPL) adalah suatu bentuk dari suatu persamaan dengan bebera variabel yang belum diketahui, SPL digunakan untuk menyelsaikan masalah sehari-hari. Syarat agar variabel dapat diketahui yaitu banyak variabel-nya harus sama dengan jumlah persamaan yang ada/diketahui. contoh:
Contoh diatas adalah suatu SPL yang memiliki
dua persamaan dan
dua variabel yang belum diketahui(x dan y). Adapun contoh tiga variable seperti di bawah ini.
| 4x | + | 6y | + | 6z | = | 12 |
| 3x | - | 2y | + | 12z | = | 5 |
| 8x | + | 7y | - | 9z | = | 15 |
Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier
Ada berbagai cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, dari cara yang sederhana, yaitu eliminasi dan subtitusi ataupun dengan cara advanced seperti penggunaan matrik. Berikut adalah satu contoh soal SPL,
Toko buku menjual 2 buku gambar dan 8 buku tulis seharga Rp. 48000, sedangkan untuk 3 buku gambar dan 5 buku tulis seharga Rp. 37000. Jika Ani membeli 1 buku gambar dan 2 buku tulis di toko itu, ia harus membayar? (UN 2013)
Untuk memudahkan mengerjakan soal SPL tersebut, kita misalkan:
Harga buku gambar = x
Harga buku tulis = y
Maka akan diperolah persamaan seperti berikut:
- 2x + 8y = 48000
- 3x + 5y = 37000
Maksud dari 2x adalah 2 kali harga buku gambar, dan 8x adalah 8 kali harga buku tulis, jadi 2x + 8y = 48000 adalah 2 kali harga buku gambar ditambah 8 kali harga buku tulis adalah Rp. 48000. Dan berikut adalah cara menyelesaikan Sistem persamaan liniernya.
Eliminasi
Eliminasi SPL adalah dengan menghilangkan salah satu atau beberapa variabel dengan menyisakan minimal satu variabel, sehingga variabel tersebut dapat diketahui nilainya.
Pada contoh ini kita akan coba dengan mengeliminasi/menghilangkan variabel x agar variabel y dapat diketahui, Langkah pertama adalah dengan melihat koefisien dari variabel x.
Dari data tersebut dapat diketahui jika x mempunya koefisien 2 dan 3. Langkah selanjutnya adalah menyamakan koefisien tersebut, yaitu dengan mengalikan seluruh persamaan. Kemudian kurangi atau jumlah kedua persamaan tersebut hingga salh satu variabel hilang, lihat contoh dibawah ini.
| 2x | + | 8y | = | 48000 | || | *3 | || | 6x | + | 24y | = | 144000 | |
| 3x | + | 5y | = | 37000 | || | *2 | || | 6x | + | 10y | = | 74000 | |
| | | | | | | | ---------------------- | - |
| | | | | | | | 0 | + | 14y | = | 70000 | |
| | | | | | | | | | y | = | 5000 | |
Nah, dengan cara tersebut dapat kita ketahui nilai dari variabel y adalah 5000, jadi harga buku tulis adalah Rp. 5000. Apabila variable y sudah diketahu maka kita dapat dengan mengetahui variable x juga, dengan cara mensubtitusinya.
| 2x | + | 8y | = | 48000 | | | | | | | | | |
| 2x | + | 8(5000) | = | 48000 | | | | | | | | | |
| 2x | + | 40000 | = | 48000 | | | | | |
| | 2x | = | 48000 | - | 40000 | | | | | | | |
| | 2x | = | 8000 | | | | | | | | | |
| | x | = | 4000 | | | | | | | | | |
Jadi, jika Ani membeli 1 buku gambar dan 2 buku tulis ia harus membayar 4000 + 2*5000 = Rp. 14000. Mudahkan !! :D
Subtitusi
Cara kedua adalah subtitusi, yaitu dengan cara memindahkan variabel ke sisi lain agar bisa membentuk satu variabel, seperti berikut.
| 2x | + | 8y | = | 48000 | | | | | | | | | |
| | 2x | = | 48000 | - | 8y | | | | | | | |
| | x | = | 24000 | - | 4y | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
Persamaan 24000 - 4y adalah x, maka kita dapat memasukan variable tersebut kedalam persamaan yang satu lagi.
| 3x | + | 5y | = | 37000 | | | | | | | | | |
| 3(24000 - 4y) | + | 5y | = | 37000 | | | | | | | | | |
| 72000 - 12y | + | 5y | = | 37000 | | | | | | | | | |
| | -7y | = | 37000 | - | 72000 | | | | | | | |
| | -7y | = | -35000 | | | | | | | | | |
| | y | = | 5000 | | | | | | | | | |
Dengan begitu, variabel y dapat kita ketahui, dan untuk langkah selanjutnya, bisa dilakukan seperti pada cara Eliminasi diatas.
Determinan Matrik
Cara ketiga adalah cara yang bisa dibilang mudah bagi yang sudah mengerti matrik, namun bagi yang belum mengerti, disarankan untuk tidak menggunakan cara ini. Oke, saya anggap sudah mengerti untuk hal ini, langsung saja. Caranya mudah, pertapa persamaan-persamaan yang telah diketahui kita ubah menjadi bentuk matrik, seperti berikut.
Gunakan rumus determinan matrik seperti berikut.
| 2 | 8 | | | | | | | | | | | | | |
| | = | det | | | | | | | | | | | |
| 3 | 5 | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | |
| 48 | 8 | | | | | | | | | | | | | |
| | = | det{x} | | | | | | | | | | | |
| 37 | 5 | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | 48 | 8 | | | | | | | | |
| | det{x} | | | 37 | 5 | | 37*8 | - | 48*5 | | 56 | | |
| x | = | ------- | = | | ------- | = | ------------------ | = | --- | = | 5 |
| | det | | | 2 | 8 | | 3*8 | - | 2*5 | | 14 | | |
| | | | | 3 | 5 | | | | | | | | |
Dan dapat diketahui variabel x adalah 4, dan untuk langkah selanjutnya bisa mengikuti langkah seperti pada cara eliminasi.
Di hari yang berat ini, saya cukupkan terimakasih, maaf kalo masih berantakan, maklum, masih kurang paham cara menata matriks, hehe :)
